Jan Kynčl: Matematika je přesná. Co jednou dokážete, platí navždy

Působíte na katedře aplikované matematiky, ale sám se považujete za teoretika. To je trochu zvláštní, ne?

Katedra vznikla už před desítkami let a upřímně nevím, proč zvolili tento název. Naše pracoviště je součástí Informatické sekce MFF UK, ale za informatika se nepovažuji a matematiku dělám čistě teoretickou, bez nadějí na konkrétní aplikace. Pravdou je, že zde máme velký rozptyl otázek a problémů, kterými se s kolegy zabýváme. Jsou lidé, kteří mají k aplikacím blíž, ale stejně dělají výzkum hlavně teoreticky.

Mohl byste v jedné větě popsat, co děláte vy?

Studuji konečné struktury, geometrické objekty a jednoduše formulovatelné otázky, které se jich týkají.

Čím vás matematika fascinuje?

Obecně se mi na ní líbí, že je velmi přesná. Když se v ní jednou něco dokáže, platí to už navždy, za jakéhokoli počasí, režimu a podobně. Na rozdíl od jiných oborů, kde třeba nové pozorování může totálně převrátit dosavadní teorie.

Co znamená v matematice „dokázat“?

Máme nějaké základní pravdy – axiomy, na nichž se musíme shodnout. Kdybychom například tvořili axiom pro aritmetiku, bylo by to třeba: 1+1=2. Nebo víme, že násobení se definuje jako opakované sčítání. Z takových axiomů potom pomocí základních logických pravidel odvozujeme další platná tvrzení. Teoreticky. V praxi to tak jednoduché není.

A už jsme zase u té teorie.

Je to tak. Nezřídka pracujeme s nějakou analogií nebo heuristikou (v matematice jde o jakési zkusmé řešení problémů, pro něž není znám algoritmus nebo přesnější metoda – pozn. red.). Ale výsledek, respektive důkazy, které napíšeme, se dají teoreticky rozvést do těch základních logických kroků. Někteří matematici se věnují oboru formalizace matematiky. Vezmou si třeba učebnici algebry pro první ročník a přepíšou ji formálně do počítačového jazyka – tak, aby počítač sám dokázal „příklady“ ověřit. Některé učebnice už jsou takto formalizované do nejmenších detailů.

Proč to dělají?

Jak už jsem říkal, matematika je naprosto přesná. Ale když tvoříte něco složitějšího, nedá se už jít do úplných detailů – bylo by to tak strašně dlouhé, že by nebylo možné to reálně spočítat. Proto máme zkratky neboli definice, abychom nemuseli uvažovat jen v těch nejzákladnějších pojmech. To je ten takzvaný formální matematický jazyk. Formalisté se snaží naučit matematiku počítače, aby samy dokázaly „uvažovat“, vymýšlet důkazy a podobně. Pro „běžného“ matematika ale zatím tato formalizace příliš velký význam nemá, důležitá je hlavně pro počítačové programy.

Neměl jste nikdy chuť zkusit vytvořit něco praktického?

Mojí motivací právě vůbec není praktické využití, to už bych byl v nějakém start-upu, ale spíš zajímavé a „pěkné“ problémy. Jednoduše formulované, u kterých mám nápad nebo pocit, že by se daly nějak řešit. Připadá mi, že čím teoretičtější problém, tím je krásnější.

Mám pocit, že lidé se na aplikace a praktické využití soustředí ne proto, že by vědce-teoretiky opomíjeli, ale protože jim je jejich práce vzdálená. Ani aplikovaným oborům nerozumí, ale aspoň vidí ten praktický výsledek.

Asi máte pravdu. Jen bych doplnil, že aby bylo možné teoretické výsledky aplikovat, musí na ně někdo nejdřív přijít. Třebaže od vymyšlení k aplikaci uběhnou desítky, někdy i stovky let, a na začátku se jedná o zcela nepraktickou kuriozitu. Nedávno jsem viděl zajímavou přednášku anglického matematika Tima Gowerse, profesora z Cambridge, který to vysvětloval velmi pěkně: I když z matematiky najde praktické využití třeba jedno procento poznatků, nikdo dopředu neví, které to budou. A tedy se nedá „ušetřit“ podporováním jen toho jednoho procenta nebo jen toho „aplikovatelného“ výzkumu. Navíc všechno souvisí se vším, stále se nacházejí nová propojení mezi různými oblastmi, která často vedou k nečekaným řešením dlouho otevřených problémů, a v důsledku toho i k novým, dříve nepředstavitelným aplikacím.

Jaká matematika vás bavila jako malého kluka? Co jste nejraději počítal?

Asi hlavně logické úlohy. Můj táta také studoval matematiku, takže jsme doma měli odborné knížky, z nichž jsem je zkoušel řešit. Matematika mě bavila vždycky a šla mi ze všech předmětů nejlíp. A také jsem měl štěstí na učitele na základní a pak i na střední škole, kde nás učili absolventi Matfyzu a myslím, že to bylo na jejich kvalitě hodně znát.

Proč je podle vás matematika mezi studenty tak neoblíbená? Přece to nemůže být jen tím, že by měli „smůlu na učitele“?

Osvědčený recept na dobrou výuku nemá asi nikdo. Ale neobliba bude určitě dána i tím, že matematické pojmy na sebe silně navazují v čím dál vyšších abstrakcích, asi jako když se staví věž. Když žák „chybí“ ve škole během násobení a nedoučí se je, bude mít velké až nepřekonatelné potíže se zlomky nebo mocninami. Kdežto v biologii se může naučit a bez problémů porozumět savcům, i když neví nic o obojživelnících, a naopak.

Mohlo by být větší začleňování logických úloh do výuky pro žáky motivační, protože by viděli využití definic a vzorečků v praxi?

Logické úlohy spíš procvičují logické myšlení, většinou v nich nejsou potřeba žádné vzorečky ani teorie (ty se procvičují ve slovních úlohách). Na Matfyzu často začínáme na prvních cvičeních některých předmětů právě logickými úlohami. Ale těžko říct, zda by větší důraz na ně přitáhl k matematice více žáků. Myslím, že je potřeba se smířit s tím, že každého baví něco jiného. To je úplně normální. Mě zase nebavil dějepis. Možná je škoda, že na základní a střední škole je jedno učivo povinné pro všechny. Byl bych pro rozdělit ho na rozšiřující a jádrové, aby si každý našel to svoje a měl víc času a prostoru se v tom do hloubky rozvíjet.

Tady bych vypíchl matematické soutěže, olympiády anebo i korespondenční semináře (například PraSe nebo M&M), které organizují studenti Matfyzu, nebo týmovou soutěž Náboj (vedle MFF UK se na něm podílí Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě nebo univerzity v Polsku či na Slovensku – pozn. red.). Takovéto projekty mohou být hodně motivační pro studenty, které matematika zajímá. Náboj bych přirovnal ke sprintu, olympiádu k vytrvalostnímu běhu a korespondenční seminář je už takový maraton.

Dokázal byste pracovat se žáky základní školy, třeba je doučovat?

Nevím. Mám zkušenost pouze s výukou studentů na Matfyzu a musím říct, že čím nižší ročník, tím obtížnější to pro mě je – tím víc se od vás vyžaduje znalost didaktiky, tím větší je vzdálenost mezi tím, co znají studenti a co zná pedagog. O to těžší je pak vžít se do jejich role a pochopit, proč oni nechápou…

Jste odborníkem na kombinatoriku a diskrétní geometrii. O co přesně jde?

Kombinatorika je obor, který studuje konečné množiny objektů nebo konečné struktury. Zabývá se například otázkami typu: kolik je objektů velikosti n s nějakou konkrétní vlastností. Je to obrovská oblast.

A diskrétní geometrie je jedním z podoborů?

Dalo by se to tak říct. Diskrétní geometrie zkoumá kombinatorické vlastnosti geometrických objektů – konečné množiny bodů nebo přímek v rovině, případně zobecnění v prostoru nebo ve vyšších dimenzích. Dalšími objekty zájmu jsou konvexní množiny, speciálně mnohostěny (v rovině jsou to mnohoúhelníky jako například trojúhelníky nebo obdélníky; v prostoru například krychle, kvádry, osmistěny a podobně).

Jedna z nejslavnějších úloh diskrétní geometrie se týká řešení, jak naskládat určité objekty co nejúsporněji do nějakého objemu – například pomeranče do bedýnky.

Tak to je krásné praktické využití.

Zkoumali to už matematici starověku, dnes je tento problém známý jako Keplerova hypotéza. Jedním ze způsobů, jak naskládat pomeranče do bedýnky, je uspořádat první vrstvu do šestiúhelníkové sítě – každý pomeranč sousedí s šesti okolo. Další patro pomerančů se pak vkládá do mezer. Hypotéza, že jde o nejúspornější způsob skládání – nejhustější zaplnění objemu – byla známá dlouho, ale matematici ji neuměli dokázat. Podařilo se to až Američanovi Thomasu Halesovi, právě za pomoci počítače. Tento vědec je jedním z průkopníků formalizace. Už okolo roku 2000 měl první verzi důkazu, ale trvalo mu dalších deset let, než vytvořil druhou, jež už byla kompletně formalizovaná.

Když přemýšlíte o těch, jak říkáte, pěkných problémech – opravdu se jedná o věci, které zatím nemají řešení? Jak si můžete být jist, že na ně nikdo předtím nepřišel?

Ze začátku dostáváte takové otázky například od svého vedoucího, od pedagogů, kteří mají o situaci přehled, a postupně si rozšiřujete ten svůj. Často otevřené problémy nebo hypotézy formulují i sami autoři článků. Čtu články, které se „mojí“ problematiky týkají, hledám odpovědi, a když je nenajdu, usoudím, že se jedná o otevřený problém. Nebo mě napadne zajímavá otázka v souvislosti s jinou, kterou zrovna řeším…

Zhruba v polovině případů se stává, že pracujeme na něčem, o čem si myslíme, že nikdo jiný nevymyslel. A s odstupem, za rok za dva, zjistíme, že už na to někdo přišel dřív, jen to nazval jiným jménem. Je to tím, jak je matematika univerzální. Nevymýšlíte originální vynálezy, spíš objevujete dané zákonitosti. Tím pádem se stává, že jednu věc objeví víc lidí nezávisle na sobě.

Podle vědecké rady, která vám udělila Cenu Neuron, jste v kombinatorice zaznamenal průlomová zjištění. Využijete finanční odměnu k dalšímu bádání?

Díky novým pravidlům Neuronu mohu použít finanční prostředky i pro soukromé účely. V matematice je to jiné než u kolegů z jiných oborů, kteří potřebují finance na vybavení laboratoří nebo koupi materiálů (i když i oni mohou samozřejmě použít odměnu z Neuronu na soukromé účely). Já si vystačím s tužkou, papírem a odpadkovým košem, jak se říká. Případně ještě s počítačem, na kterém napíšu odborný článek.

Posouváte se dopředu spíš díky nápadům, nebo novým vědomostem?

Většinou je potřeba nějaký nápad. Na druhu stranu se říká, že v matematice nebylo nikdy nic originálního vymyšleno – všechno je jenom odvozování na základě předchozích znalostí. Řekl bych, že realita je někde mezi. Není to tak, že se zčista jasna vynoří geniální myšlenka. Spíš jde o postupný proces, kdy člověk zkouší různé uličky a mezi mnoha slepými občas vykročí novým směrem, který vypadá nadějně. A tak pořád dokola. Asi jako v každém jiném oboru.

 

Autor: Jitka Jiřičková

Foto: Hynek Glos

Článek vyšel v on-line magazínu Univerzity Karlovy Forum.

---

 Jan Kynčl

Vystudoval Matematicko-fyzikální fakultu UK, kde nyní vyučuje. Věnuje se především oblasti kombinatoriky a diskrétní geometrie. Získal Cenu Neuron 2022 pro nadějné vědce v oboru matematika. Dle odborné rady, jež o laureátech rozhoduje, vylepšil například algoritmy pro kreslení abstraktních topologických grafů a získal nové odhady pro průsečíkové číslo grafu. Obojí souvisí s přehledným zobrazováním diagramů s mnoha průsečíky, jako jsou schémata leteckých spojení mezi městy nebo biologické či sociální sítě. S dalšími spoluautory získal superlineární odhad na počet prázdných konvexních pětiúhelníků v bodových množinách, což je hranice, která odolávala 30 let.